Java 中的递归

递归

递归 一种通过调用某个方法来描述需要重复进行的操作。该方法的特点就是可以自己调用自己。

案例一

1. 排队的问题

   在生活中，我们经常需要排队。在排队中，我们怎么才能知道自己所排在第几位呢？

   我们也许会想到数自己前面有几个人，这就是典型的迭代思想。就像是一个while循环，只要前面还有没数过的人，就不会停止。这种方式相对来说是比较直观的，但是同样也有局限性。比如在排队时，遇到了转弯，我们看不到前面的人怎么办呢？

   有一个方法，我们可以通过询问前面一个人他所处的位置。假设有A、B、C、D四个人，D询问C所在的位置，C询问B所在位置，B询问A所在的位置。A知道自己排在第一位（他不需要再问别人了，这一个询问的过程结束），然后告诉B，那B就知道自己在第二位；然后B告诉C，C也就知道了自己在第三位；最后C告诉D他在第三位时，D也就知道自己所在的位置了。这就是使用递归思想来分析问题——每个人都来回答一个问题，从而使这个问题多次重现（recur）。

   这一点也是递归思想的精髓所在，递归方法涉及多个进行合作的单元，每个单元负责解决问题的一小部分。例如刚刚那个例子，每个人都像前询问一个问题，最后每个人又向后回答一个问题，而不是由一个人来负责统计所有的人数。

2. 迭代到递归的转变

   根据传递的长度length，打印出length个“ * ”

   /**
    * 迭代
    *
    * @param length
    */
   public void writeStars1(int length) {
       for (int i = 0; i < length; i++) {
           System.out.print("*");
       }
       System.out.println();
   }
   
   /**
    * 递归
    *
    * @param length
    */
   public void writeStars2(int length) {
       if (length == 0) {
           System.out.println();
       } else {
           System.out.print("*");
           writeStars2(length - 1);
       }
   }
   

   上面这两个方法最终结果都是一样的。不同的是，迭代好比是一个人来统计所有的人数。递归则是由每个人回答同一个问题，由于每个人所在的位置不同，所回答的结果也不相同。

递归方法的结构

public void writeStars3(int length) {
    System.out.println("*");
    writeStars3(length - 1);
}

我们看一下上面这段代码，如果执行这段代码，程序并不会停止，会一直在自己调用自己执行下去。这也就是我们可能会遇到的无穷递归（infinite recursion）。

递归方法有两个重要的组成部分：一个基本情况（base case）和一个递归情况（recursive case）。

基本情况 一种简单到不需要递归调用就可以解决的情况。

递归情况 一种需要把整个问题转化成一个相同种类的，比较简单的，而且可以通过递归调用来解决的问题的情况。

/**
 * 通过注释来解释基本情况和递归情况
 *
 * @param length
 */
public void writeStars2(int length) {
    if (length == 0) {
        // 基本情况
        System.out.println();
    } else {
        // 递归情况
        System.out.print("*");
        writeStars2(length - 1);
    }
}

案例二

我们有一个LinkedList集合，现在需要按照倒叙把集合的内容打印出来，打印完之后集合里面不要有数据。

1. 通过迭代实现

   代码

   LinkedList<String> list = new LinkedList<>();
   list.add("a");
   list.add("b");
   list.add("c");
   list.add("d");
   list.add("e");
   list.add("f");
   
   System.out.println(list);
   
   for (int i = list.size() - 1; i >= 0; i--) {
       System.out.print(list.get(i) + " ");
   }
   list.clear();
   System.out.println();
   System.out.println(list);
   

   输出结果

   [a, b, c, d, e, f]
   f e d c b a 
   []
   

   看到上面的结果，显然是符合要求的。那我们如果使用递归，该怎么实现呢？

2. 通过递归实现

   代码

   public static void main(String[] args) {
   
       LinkedList<String> list = new LinkedList<>();
       list.add("a");
       list.add("b");
       list.add("c");
       list.add("d");
       list.add("e");
       list.add("f");
   
       System.out.println(list);
   
       Iterator<String> iterator = list.iterator();
       writeArray(iterator);
   
       System.out.println();
       System.out.println(list);
   }
   
   /**
    * 递归实现
    * @param iterator
    */
   private static void writeArray(Iterator<String> iterator) {
       // 如果迭代器中还有数据，才进行递归计算
       if (iterator.hasNext()) {
           // 获得当前指针的参数
           String next = iterator.next();
           // 删除当前指针
           iterator.remove();
           // 使用递归计算
           writeArray(iterator);
           System.out.print(next + " ");
       }
   }
   

   输出结果

   [a, b, c, d, e, f]
   f e d c b a 
   []
   

由上述代码可以看出，使用递归算法，也可以同样得到结果，并且可以不使用for循环来完成任务。

调用栈

调用栈 用来跟踪所调用方法的顺序的内部结构。

了解递归的底层机制，对于初学者来说是很有帮助的。我们先来分析下面这段代码：

public static void main(String[] args) {
     draw();
     draws();
}

private static void draw(){
    System.out.println("在纸上画了一幅画");
}
private static void draws(){
    draw();
    draw();
}

我们来人工debug一下这段代码。

1. 程序首先进入main方法；
2. 然后程序会停止执行main方法，转而去执行draw方法，当程序执行完draw方法时，会回到main方法当中；
3. 接着需要执行draws方法，draws方法又会去调用两次draw方法。而此时位于顶端的方法则是我们正在执行的方法draw；
4. 当我们执行draw时，回到了draws上面，执行完draws后，最终会回到main方法中；

调用一个方法我们就把它放在最上面的位置，这就是Java的调用栈（call stack）

了解了什么是调用栈，则可以利用调用栈来分析刚刚那个递归倒叙是如何工作的了。

案例三

整数的密运算。Math.pow(x, y)可以进行x的y次幂运算。但是如果要通过递归该如何实现呢？

为求简单，我们只考虑整数的情况。也就是说我们不考虑负指数，因为它的结果不是整数。

在递归情况中，我们已知y > 0。我们至少需要再乘一个x：x的y次幂=x * x的y-1次幂（$x^y = x * x^z$）。由此我们可通过以下代码实现。

public static void main(String[] args) {
    System.out.println(Math.pow(3, 5));
    System.out.println(pow(3, 5));
}

private static int pow(int x, int y) {
    // 按照定义，任何整数的零次幂都是1
    if (y == 0) {
        return 1;
    } else {
        return x * pow(x, y - 1);
    }
}

运算结果

243.0
243

案例四

我们在写程序时，通常都会使用包含上下级结构的码表，例如下面这个数据：

SysCode{scId='01', itemName='测试1', sort=1, fScId='null', cDesc='测试测试1'}
SysCode{scId='02', itemName='测试2', sort=1, fScId='01', cDesc='测试测试2'}
SysCode{scId='03', itemName='测试3', sort=3, fScId='01', cDesc='测试测试3'}
SysCode{scId='04', itemName='测试4', sort=2, fScId='01', cDesc='测试测试4'}
SysCode{scId='05', itemName='测试5', sort=1, fScId='03', cDesc='测试测试5'}
SysCode{scId='06', itemName='测试6', sort=2, fScId='03', cDesc='测试测试6'}
SysCode{scId='07', itemName='测试7', sort=2, fScId='null', cDesc='测试测试2'}
SysCode{scId='08', itemName='测试8', sort=1, fScId='07', cDesc='测试测试2'}

分析以上代码，我们可以根据fScId封装上下级
关系，首先在SysCode类中增加一个children集合来保存子集。

/**
 * 使用递归创建子集
 *
 * @param scId
 * @param list
 * @return
 */
private List<SysCode> getSysCodeChildren(String scId, List<SysCode> list) {
    List<SysCode> sysCodeList = new ArrayList<>();
    list.forEach(e -> {
        if (null != e.getfScId() && e.getfScId().equals(scId)) {
            e.setChildren(getSysCodeChildren(e.getScId(), list));
            sysCodeList.add(e);
        }
    });
    return sysCodeList;
}

递归回溯

很多问题都可以通过系统地检查各种可能性来求解。比如，一个迷宫得游戏，要从入口找到出口，可以检查每一条线路，直到找到可行的线路。

很多使用穷举搜索求解得问题都能够用回溯法（backtracking）求解。回溯法是一种适宜用递归方式表示的问题求解方法。因此，这种方法也称为递归回溯（recursive backtracking）。

（递归）回溯法 一种搜索问题解的通用算法，它先找出可能得候选解，一旦确定某个候选解不适合，就立刻放弃进一步尝试（回溯）。

案例分析

移动线路问题

考虑一个标准的平面直角坐标系（x, y），假设从原点（0, 0）出发，可以进行以下三种移动方式：

• 向北移动（用“ N ”表示），每次移动纵坐标 +1；
• 向东移动（用“ E ”表示），每次移动横坐标 +1；
• 向东北移动（用“ NE ”表示），每次纵坐标，横坐标各 +1；

如上图所示，从原点出发，会有三种不同的移动方式。现在定义一种移动路线问题：通过一系列移动，从原点到坐标（x, y）。例如，通过移动序列：N -> NE -> N 可以到达（1, 3）。

每个适用于回溯法解决的问题都具有包含问题所有可能解的解空间（solution space）。可以把解空间想象成一颗决策树（decision tree）。对于我们要解决的移动线路问题来说，每次移动方案都是选择的结果。

考虑从原点（0, 0）到（1, 2），所有可能的移动序号是：

• N -> N -> E
• N -> E -> N
• N -> NE
• E -> N -> N
• NE -> N

用程序该如何找出这些解呢？对于大多数回溯问题，最终都会编写两个方法。一般会定义一个含有反应问题特性的参数的公有方法。另外会定义一个包含一些额外参数，执行实际回溯处理过程的私有方法。

因为要使用递归，所以需要确定基本情况和递归情况这两个部分。回溯法通常包含两种不通的基本情况。找到解时，停止回溯，这也是递归过程的一个基本情况。发现遇到死路的时候，停止继续搜索。

在回溯搜索过程中，如果既没有找到问题的解，也没有进入死路，就需要继续探索每一种可能的选择。根据上述的分析，我们可以编写以下伪代码来解释该回溯过程：

private static void explore(current(x, y), target(x, y)) {
    if(一个解) {
        打印出解
    } else if(不是死路) {
        explore(向N移动);
        explore(向E移动);
        explore(向NE移动);
    }
}

在这个问题中，我们需要当前位置的x, y坐标和目标x, y的坐标。还要记录每次移动的结果，用来形成最终的路径报告。

我们可以通过对比当前移动的起点和终点是否匹配，来验证是否找到了解。对于是否进入死路这个问题，我们知道在移动的过程中，横坐标和纵坐标只会递增，所以一旦当前位置的x坐标值大于目标位置的x坐标值，或者当前位置的y坐标值大于目标位置的y坐标值，就能知道在相应方向上移动距离超过了目标值，所以永远不可能找到解，这时需要停止继续搜索。整合这些分析，我们可以得到以下代码：

public static void main(String[] args) {

    // 使用回溯法找到（1, 2）的所有线路
    travel(1, 2);

}

/**
 * 反应问题特性的参数的公有方法
 *
 * @param targetX ：x目标值
 * @param targetY ：y目标值
 */
public static void travel(int targetX, int targetY) {
    explore(targetX, targetY, 0, 0, "path: ");
}

/**
 * 执行实际回溯处理过程的私有方法
 *
 * @param targetX ：x目标值
 * @param targetY ：y目标值
 * @param currX   ：当前x目标值
 * @param currY   ：当前y目标值
 * @param path    ：移动的路径
 */
private static void explore(int targetX, int targetY, int currX, int currY, String path) {
    if (currX == targetX && currY == targetY) {
        System.out.println("找到解：" + path);
    } else if (currX <= targetX && currY <= targetY) {
        explore(targetX, targetY, currX, currY + 1, path + " N");
        explore(targetX, targetY, currX + 1, currY, path + " E");
        explore(targetX, targetY, currX + 1, currY + 1, path + " NE");
    }
}

输出结果

找到解：path:  N N E
找到解：path:  N E N
找到解：path:  N NE
找到解：path:  E N N
找到解：path:  NE N

下图则是上述搜索对应的决策树，其中五个深色的部分就是找到的解。

这种返回到上一次选择并继续搜索其他可能性的特性，是讲该类方法成为回溯法的原因。找到解或者死路的时候，就返回上一次进行选择的情况，并尝试其他可能，直到尝试完所有可能的选择。

参考文章：

来源：https://muycode.cn/article/backtracking200409.html

《Java程序设计教程 第三版》